El Juego del Caos

 
Considera el siguiente procedimiento geométrico:  
    (a) Dibuja los vértices de un triángulo equilátero ABC. Escoge un punto inicial del interior de un triángulo. En el ejemplo, el punto P0 
    (b) Elige un punto al azar de los tres vértices. En nuestro caso el A. Traza el  segmento AP0.
    (c) El punto medio del segmento AP0, nos determina un nuevo punto que llamaremos P1.
    (d) Volvemos a escoger al azar uno de los tres vértices del triángulo. En la figura tomamos el punto B. Y trazamos un nuevo segmento desde P1 a B.
    (e) El punto medio de este segmento nos proporcionara P2.
    (f) El procedimiento se repite indefinidamente para generar una serie de puntos : P0 , P1, P2, P3 ,...
El conjunto de puntos resultantes genera ... !Un triángulo de Sierpinski! En la figura inferior aparece el resultado después de iterar el procedimiento con un programa de ordenador. Sorprendente, ¿no?
   
El procedimiento geométrico descrito se presenta generalmente como un juego entre dos personas: el juego del caos. Una posible presentación es:
    (a) El jugador 1 escoge un punto inicial del interior de un triángulo equilátero ABC. En nuestro ejemplo, lo llamamos P2 (no es un error, el juego busca pre-imágenes del procedimiento anterior).

    (b) Traza un segmento que une dicho punto con el vértice del triángulo más cercano. En nuestro caso, el segmento BP2.

    (c) Encuentra el punto simétrico a B con respecto a P2, doblando en distancia el segmento BP2 , obteniendo así el punto P1.

    (d) Se repite el procedimiento con el punto P1 obtenido y conseguimos así una serie de puntos: P2, P1, P0 , P-1,...

En realidad el juego así descrito encuentra nuestra primera sucesión de puntos hacia atrás... El ganador en este juego es aquel que consigue la sucesión mayor de puntos que se mantienen en el interior del triángulo. Es decir, pierde el primero que se topa con un punto fuera del triángulo.  

Existe un número incontable de puntos que garantizan ganar la partida: la sucesión de puntos que producen nunca caen fuera del triángulo. Pero la probabilidad de acertar uno de ellos por azar es nula. ¿Cómo escoger un punto ganador? Veamos una respuesta geométrica a la pregunta. Observa el punto P que se encuentra en el interior del triángulo blanco central.

Genera un punto que cae  fuera de nuestro triángulo de competición. Una pequeña reflexión nos convencerá rápidamente de que cualquier punto del interior del triángulo blanco tendrá como siguiente imagen un punto exterior al triángulo equilátero mayor. Así que todas las pre-imágenes, puntos que en una sola jugada nos lleven a un punto del triángulo blanco, serán puntos perdedores. ¿Cuáles son estos puntos? De nuevo una pequeña reflexión, nos convencerá de que estos puntos se encuentran encerrados en el área de los tres pequeños triángulos equiláteros mostrados en la siguiente figura.
¿Y las pre-imágenes de estos? Repitiendo el razonamiento llegaremos a la conclusión de que hay nueve triángulos pequeños nuevos a recortar. Aplicando el razonamiento de forma reiterada obtenemos un procedimiento para conseguir eliminar todos los puntos que en algún momento serán perdedores. Es una tarea de recortes infinitos, pero claramente definida. ¿Cuál es la figura finalmente obtenida? ¿Qué forma tiene el conjunto de todos los puntos que son ganadores con toda seguridad porque siempre se mantendrán confinados? La respuesta es: el triángulo de Sierpinski.
 
Quizás Robert L. Devaney lo explica mejor....

y su applet ayuda, desde luego: 
The Chaos Game 
 
 
 
 
En esta página encontrás un listado de temas diversos de matemáticas. Hay varios dedicados a fractales. Uno en concreto es el del juego del 
caos. Puedes conseguir un material excelente para explicar conceptos sobre fractales en clase. Un sitio muy recomendable para pedagogos.

  

 
 
 
 
¿Te apetecen unos salvapantallas basados en el juego del caos?

http://www.geocities.com/ResearchTriangle /System/8956/Fractal/intro.htm