El Conjunto de Mandelbrot

 
Vamos a adentrarnos en un nuevo universo de complejidad: el conjunto de Mandelbrot. De nuevo, los procesos iterativos serán las fuentes de este río. El conjunto de Mandelbrot está considerado como el objeto geométrico más complicado creado hasta el momento por el hombre. La frontera que delimita este objeto en el plano complejo es fractal. De hecho, es tan enrevesada que su dimensión fractal D es igual a 2. El conjunto de Mandelbrot, que a partir de ahora indicaremos como M, es el fractal que aparece por defecto al iniciar Fractint y es la figura que hemos empleado de fondo para todas las páginas de nuestro curso. Se trata del ocho rechoncho y recostado lleno de verrugas que puedes observar en la  figura de inferior. 

Este es el dibujo original que Mandelbrot descubrió a la comunidad científica a finales de los 70 cuando trabajaba en el centro de investigación Thomas J. Watson. Ahora disponemos de imágenes más detalladas como las representadas en la  tabla de abajo. Si ampliamos las verrugas, nos toparemos con la primera sorpresa: son diminutas copias del conjunto original, mini-mandelbrots. No exactamente idénticas, pero sí semejantes. Y como no, a su vez, estas copias están llenas de verrugas cada una de las cuales vuelve a ser un conjunto de Mandelbrot al ser ampliadas, y así ad nausean... 

En la tabla inferior puedes ver un ejemplo de la existencia de pequeñas réplicas similares al propio conjunto inicial en su interior. Hemos utilizado Fractint con mapa de color blues.map para generar las imágenes. Partiendo del conjunto inicial hemos ido haciendo sucesivas ampliaciones de izquierda a derecha en las tres primeras imágenes y de derecha a izquierda en las siguientes. 
   

   
   
   
   
Y aquí puedes observar el efecto zoom en forma de película. 
Mientras que los conjuntos de Julia son estrictamente autosimilares, los pequeños conjuntos de Mandelbrot sembrados en sus profundidades son solo cuasi-autosimilares. El grado de similaridad depende de la zona y el grado de magnificación al que nos encontremos de forma no trivial.   

Vamos a describir el protocolo para la creación del conjunto. El proceso iterativo queda descrito por el mapa: 

z(n+1) = z(n)2 +c, 
   
donde tanto z como c son complejos. Al contrario de las actuaciones previas con los biomorfos o los conjuntos de Julia, el conjunto de Mandelbrot en realidad no es la iteración de una sola función, sino de infinitas funciones. Como hemos visto el factor que determina si un conjunto de Julia es conexo o disconexo es el valor de c.  
   
Para determinar que valores de c producen conjuntos conexos y cuales disconexos parece que no nos quede más remedio que determinar cada conjunto iterando todos los puntos del plano complejo para cada función f_c=z2 +c. Afortunadamente se puede demostrar que basta con iterar el (0,0) para cada función f_c y la órbita nos determina la conectividad del conjunto.  

Si la órbita del origen (condición inicial z_0=(0,0)) para la iteración de f_c no escapa al infinito, entonces:  

    (1) o bien pertenece al conjunto de Julia de f_c,  
    (2) o bien está atrapado.
En el primer caso el conjunto de Julia correspondiente será dendrítico. En el segundo caso el conjunto será equivalente, topológicamente a un círculo y por tanto el conjunto será conexo. El conjunto de todos los valores c tales que sus correspondientes conjuntos de Julia son conexos forman en el plano complejo el famoso conjunto de Mandelbrot. @@  
constellation diagram
En la figura superior están representados algunos conjuntos de Julia con valores de c indicados en el plano complejo por las líneas de color azul. Para valores de c dentro del conjunto de Mandelbrot la forma de los conjuntos de Julia es semejante a círculos. Fuera del conjunto tenemos nubes de puntos disconexos. Los conjuntos de Julia más interesantes estéticamente se observan en la frontera. Las formas dendríticas de los conjuntos de Julia corresponden a las fronteras filamentosas del conjunto de Mandelbrot. En la imagen inferior puedes observar un gif animado del efecto de la variación continua del parámetro c en las formas de los conjuntos J a lo largo de una línea que va desde la frontera de M (forma dendrítica) hasta su interior (forma circular). 


Hemos oteado la enorme complejidad que encierra el conjunto de Mandelbrot. Para los matemáticos "realistas", el conjunto de Mandelbrot es una prueba de sus concepciones filosóficas: el conjunto es tan complejo que no podemos decir que lo hayamos inventado, sino descubierto. A eso se refieren algunos matemáticos cuando hablan de la "realidad" del conjunto de Mandelbrot o del número pi. ¿Qué opinas?

En la sección siguiente veremos las facilidades que ofrece Fractint para explorar las relaciones Julia/Mandelbrot.
 
 
@ Un viaje por el universo Mandelbrot... 
 
 
 
 
@ ¿Puedes proporcionarnos varios ejemplos desde Fractint de mini-mandelbrots en distintas regiones para comprobar visualmente la cuasi-autosimilaridad?
 
 
 
 
@ ¿Recuerdas la secuencia de Fibonacci? Todo está en el conjunto de Mandelbrot.... 
 
 
 
 
@ Sigue las explicaciones de Miguel Reyes en: 
 
 
 
 
@ Explora