Conjuntos de Julia

Cuando decía en 1980 a mis amigos que estaba trabajando con H. Hubbard
en el estudio de polinomios de grado 2 en variable compleja
( y más específicamente en z --> z² + c ),
me preguntaban: ¿Esperas encontrar alguna cosa nueva?

Adrien Douady

Seguiremos el camino abierto por los biomorfos en el estudio de la iteración de funciones de variable compleja. Los matemáticos franceses Pierre Fatou (1878-1929) y Gastón Julia (1893-1978), a principios de siglo, fueron capaces de desvelar propiedades básicas de la iteración de funciones polinómicas complejas.

Los trabajos de Julia y Fatou estuvieron motivados por un problema propuesto por el matemático británico Sir Arthur Cayley: encontrar las cuencas de atracción de los ceros del polinomio z³-1=0 en el plano complejo por el método de Newton. Las soluciones, los ceros del polinomio, son: {1, e^2pi/3, e^4pi/3}. Como ya sabemos calcular, el método de Newton para esta ecuación nos proporciona la siguiente función iterada:

Cayley pretendía responder a la pregunta de dónde terminaría la iteración infinita de un punto z_o arbitrario. Recordemos que el conjunto de puntos z_oque desemboca asintóticamente en una raíz se denomina cuenca de esa raíz. La raíz actúa como atractor para toda su cuenca. Como ya hemos visto las fronteras de las cuencas de atracción estaban enormemente enredadas. La distribución sobre el plano complejo de las cuencas de atracción se mostraba de una complejidad geométrica enorme.

A partir de estos trabajos, Julia intuyó que todo un universo matemático se abría ante él al estudiar con una nueva óptica los inofensivos polinomios de grado 2. Ciertamente fue uno de los pioneros en sistemas dinámicos.

Vamos a dar unas nociones breves de sistemas dinámicos para establecer el vocabulario básico que emplearemos. Entendemos como sistema dinámico al par (X,f), donde X es un conjunto distinto del vacío y f una aplicación f: X--> X. Una órbita de x será la sucesión de valores obtenidos a partir de x por aplicación sucesiva de la función f, i.e.:

{f⁽ⁿ⁾(x)}^inf_n=0 = {x, f(x), f⁽²⁾(x), f⁽³⁾(x), ...} c X.
Tomemos como primer ejemplo la función compleja f:: C--> C, z --> z². Es decir estudiamos la iteración:
   z_n+1= z_n²
Utilicemos notación polar. Así un número complejo quedará representado por su módulo r y su argumento q:
   z = r·e^iq
Recordemos que el teorema de Moivre nos permite fácilmente encontrar la potencia de un número complejo:
   z^m = (r·e^iq)^m = r^m·e^imq
Esto nos permitirá determinar de forma económica el comportamiento asintótico, a largo plazo, de nuestra función iterada. Si comenzamos con z = r·e^iqen el paso m-ésimo de la iteración:
   z_m= z^2m = (r·e^iq)^2m= r^2m·e^i2mq drawing

Si comenzamos con un número complejo de módulo r<1, sucesivamente el módulo irá disminuyendo hasta tomar valor r=0 para m infinito. Al contrario, si r>1 el módulo aumentará exponencialmente, tendiendo a infinito. El caso frontera, r=1, mantendrá los valores de la iteración en un círculo de radio unidad sobre el plano complejo. De modo que todos los valores posibles del plano complejo pertenecen a uno de estos dos conjuntos:

(a) Escapan al infinito: conjunto de escape E

(b) Permanecen recluidos en una región finita: conjunto prisionero P.

Ambos conjuntos pueden ser interpretados como cuencas de atracción: E es la cuenca del infinito y P, exceptuando la frontera r=1 (que separa las cuencas), es la cuenca de atracción del atractor r=0. Justamente la frontera entre cuencas es lo que denominamos conjunto de Julia de la iteración. En otras palabras, los valores z que son invariantes frentes a la iteración, constituyen el conjunto de Julia o conjunto J para abreviar. De modo que para esta ecuación de iteración el conjunto de Julia consiste en un círculo de radio unidad. Julia centró su trabajo en una la familia de funciones cuadráticas:
F_c(z) = z² + c,
donde tanto z como c son números complejos. Fijado el parámetro c establecemos una función cuadrática en concreta. Observa que trabajar con funciones complejas es equivalente a trabajar con mapas bidimensionales. En este caso la familia de funciones cuadráticas es equivalente al mapa bidimensional:
f: (x, y) --> (x²-y²+a, 2xy+b)

donde z=x+iy=(x, y) y c = a+ib = (a, b). Así el mapa cuadrático en números complejos puede ser estudiado como una familia de transformaciones en el plano complejo:

Ya hemos visto como potenciar el módulo nos manda al origen o al infinito excepto para el módulo de valor 1 (con c=0)

En cuanto al argumento o ángulo q, elevar al cuadrado implica multiplicar sucesivamente el ángulo por dos: e^i2mq

Y sumar una constante c=(a,b) implica una traslación en el plano

Hemos visto el caso sencillo de c=0. Repetimos que el conjunto de escape es: E_c= {z : r --> inf cuando n --> inf} y el conjunto prisionero como: P_c= {z : z no pertenece a E_c} es decir, el conjunto complementario de E_c.

¿Cómo discriminar si un punto del plano complejo pertenece o no al conjunto de escape E_c ? Existe un sencillo criterio: si z = r·e^iqposee modulo |z|=r no menor que |c| y mayor que 2, entonces z es un punto de escape de la iteración z_n+1=z_n²+c. Intenta demostrarlo.

c = 0.275	c = 1/4	c = 0	c = -3/4
c = -1.312	c = -1.375	c = -2	c = i
c=(+0.285,+0.535)	c=(-0.125,+0.750)	c=(-0.500,+0.563)	c=(-0.687,+0.312)

La tabla de figuras muestra los conjuntos de Julia para distintos valores de c. Recuerda que para cada valor de c estamos trabajando con una función distinta. La frontera de cada figura es propiamente el conjunto J. El interior es el conjunto prisionero o J relleno. En general es imposible obtener expresiones compactas para los conjuntos J. Pero al menos hoy en día podemos gozar de su visión. Como puedes suponer, estas figuras, intuidas por matemáticos como Julia, no fueron vistas por el ojo humano hasta la década de los 80 gracias al ordenador.

Con la excepción del valor c=0 todos los conjuntos de Julia exhiben autosimilaridad. Existen dos grandes categorías: conexos e inconexos. En la tabla anterior, tan solo el primero y último conjunto de Julia son disconexos. Son conjuntos numerables de puntos isolados entre sí, al estilo del conjunto de Cantor. Forman agrupaciones de distintas densidades y suelen denominarse "dustlike". Los conjuntos de Julia conexos son topológicamente equivalentes a un círculo. Las deformaciones pueden resultar tan extremas que generan formas dendríticas como en el caso c=i de la tabla.

@ De la mano de Miguel Reyes, uno de los autores del excelente libro en castellano sobre fractales: "Estructuras fractales y aplicaciones" (de Guzmán, M.; Martín, M.A.; Morán, M. y Reyes, M., , Labor, Barcelona, 1993), repasa los conjuntos de Julia.

@ Supongamos el mapa iterativo:
3*x(n) sii x<= 0.5 x(n+1)= -3*x(n) sii x>0.5 ¿Cuál es su comportamiento asintótico?

Si x(0) < 0 entonces x(n) tiende a menos infinito en una órbita de escape.
Si x(0) > 1 entonces se vuelve a repetir la historia.

Pero no todos escapan. Por ejemplo: x(0)=0 permanece en el cero. Es un punto del conjunto prisionero. ¿Qué puntos del intervalo [0, 1] pertenecen al conjunto prisionero?

Pista: es un viejo conocido